27中职学生学习数学证明的必要性

关键词: 数学证明；认知发展水平；演绎推理

1   引言

Bell  (1978) [1]对证明有了明确的分类。一般来说， 个人的经验和权威的认可这两种方 法在社会生活、工作中常用；观察到的实例和举不出反例这两种方法则用于物理科学中也是 行得通的；这里的分类就跟我们平时所感受到的证明不一样了，我们经常把数学证明看成是 唯一正确有效的证明，其它的都算不上是证明。可以看出，数学证明只是证明中的一种。

演绎推理方法是数学证明的主要方法。因此，我们教师应当向学生介绍关于证明的广义 的观点，恰如其分地说明数学证明本身的特征，这样既有利于建立全面的认识， 又能分清数 学证明与一般性证明的本质差异，更有利于理解和掌握证明的方法。

从中职生学习数学证明的角度来看， 由于学习难度大，从初中生以至研究生都感觉十分 困难。但中职学校数学课程标准要求具备一定的逻辑推理能力，要求掌握演绎推理。如，函 数的奇偶性和奇偶性的相关命题的证明，利用定义上的关系来得到某个结论。[2]对于数学命 题上的逻辑关系，需要理解的基本概念的逻辑成分，哪些是充分条件， 哪些是必要条件，是 理解数学的结论的最基本要求。学生要理解数学，理所当然要理解公式的推导， 如任意角的 三角函数， 同角的三角函数关系，诱导公式等。学生需要掌握数学证明，应掌握数学证明的 基本方法， 如综合法、分析法、反证法等。

2 数学教学中的证明

Balacheff 将证明明确分类了，其中证明是在一定时间内向他人解释。而数学证明则是必 须为数学家所能接受的证明。于是，如果认为教学的目标是理解的话， 那么课堂上应重视利 用和发展解释性的证明，因为它有助于理解而不只是让学生模仿。Lakatos[3]认为，数学在本 质上讲是“难免有错的”。往往需要学生利用已知定义， 动手寻求他的答案， 这样才能有助于

他们的理解。例如， 要证明函数f(x) = 在(0, ∞)上的单调性。可以作以下推导：

设任意的x1, x2 ∈ (0, ∞)且有x1 < x2 ,

那么f(X1) > f(X2),故函数f(X) = 在(0, ∞)上的单调递减。

在这类问题中，我们要明确自己的目标，明确函数的单调性的概念，利用定义去解决问 题。学生在理解这些概念的时候，可以引导学生总结出定义， 这样会影响深刻。 对于这个实 际问题，往往考验学生的计算能力和推导能力，还有数学方法，如作差法。

例如， 在诱导公式在学习中，利用前面已知的诱导公式，

Sin(几 + ) = −Sin；Sin(−) = −Sin；

COS(几 + ) = − COS；COS(−) = COS；

tan(几 + ) = tan；tan(−) = −tan.

在学习新知识的知识上加深对知识的理解，推导了角 − a与角a的三角函数值之间的关系 Sin( − a) = Sin[几 + (−a)] = −Sin(−a) = −(−Sina) = Sina；

COS( − a) = COS [几 + (−a)] = − COS(−a) = − COSa；

tan( − a) = tan[几 + (−a)] = tan + (−a) = −tana

一般地讲，数学证明就是将问题一个一个的叠加在一起， 推导他们则需要我们利用已知 的命题将其解释地有意义，然后再解决下面的问题，最终我们也可以得到一个新命题，通常 这就是新命题产生的思路，我们通过合理解释，使它们有意义。如三角形全等的证明， 要将 全等的判定定理与题设联系起来，根据已知条件去选择相应的定理，而这个条件与定理的选 择与组合的过程即是一种推理形式。

我国中学生学习平面几何时的两方面困难。一方面是新的内容、理论。另一方面是证明 思维中的新形式按照对数学证明的认识论分析和学习心理分析，数学证明除了涉及到特定的 情境、数学的有关知识外，还要理解并会运用逻辑推理法则。其中的基本形式就是思考推理 结构。对此类结构进行分析不仅可以使学生掌握证明的基本要素、推理过程的联系和关键， 而且能使他们了解深层次的意义及各个步骤的目的、意图， 而这才是学生真正学会证明的关 键所在。因此， 下文所讲的两个结构分析的实例， 也主要是着眼于思考推理结构。

Leron 指出， 数学证明的构造思考，实际上并不像它的书面陈述那样将论据一步步线性 排列， 而是根据一定的问题情境呈现出层次结构特点。

2.1  证明的层次结构分析

第一层次

在整体构想中， 有两个非形式化的实际思想：

(1) 用简短直观的总体看法来处理较长的复杂的证明；

(2) 利用所给条件构造一个数学对象，即解题目标， 称为中枢，然后围绕它展开证明过程。

总之，leron  是想把数学证明的非形式方法与形式方法融汇结合起来。在非形式的证明 思考中，重点在总体框架上， 先抓重点， 再究其余。首先拟定要做的几件大事， 而将次要的 细节暂时推迟到后面去落实。这样就可以在证明的整体结构下抓住要害，以主线来指导和控 制细节，从而把握全局。

2.2 数学归纳法原理的步骤分析

设某个命题函数P(n)对于所有正整数n为真。

基础步骤： 验证P(n)在n = 1时成立；

归纳步骤：假设P(k)为真(k为任意正整数)，则 P(k+1)为真，即∀k ∈ N ∗ , P(k) → P(k + 1) 。 数学归纳法[4]可以简洁地表述为以下推断规则：

(P(1) \and  ∀k(P(k) → P(k + 1))) → ∀nP(n).

它可以解决求数列的通项公式、数列求和的数学问题，这些也是我们中职学生要掌握的内容。

例如， 已知前 n 项和Sn = n2 + n 来求通项公式

当n = 1 时， a1 = 2;

验证n = 1,此时也成立， 故

an  = 2n, n ∈ N ∗

3 认知发展水平对数学证明学习的影响

对数学证明的理解和学习做数学证明，作为一种特定的学习活动，涉及到对较高水平的 数学内容和内在蕴含的逻辑法则的领会和应用，是一项高水平的认知活动。因此在诊断学生 学习数学证明的困难，分析错误产生的原因时，要充分考虑到心理学上关于认知水平发展的 观点， 注意到学生智力的发展程度。例如，学生对有些问题的不理解， 方法学不会，可能不 仅仅是他们缺乏具体知识和方法，其症结可能是他们的认知能力还没有达到必要的水平。

根据 Piaget[5][6]和 Clements[7]等人的认知理论，不同认知水平的学生可以有不同的要求。 中职学生的年龄普遍在 14-19 周岁，他们可以以假设为基础进行形式化的演绎推理了，他们 还能领会到假设的合理性并不影响推理的有效性，所使用的方法可以建立逻辑的必要性。他 们能够通过各种活动综合信息，并能决定要进一步得到什么信息。但是，学生的这类逻辑推 理能力并不是建立在形式化的数学上的。他们可以这样思考，但不一定能做出一步步的形式 化的推理。

在证明学习的研究中，对于处在具体运算阶段的学生来说，是一个思维难点。这表明了 认知能力的发展是影响学习这类演绎推理问题的重要因素。在教学中，学生往往对公式、命 题的不理解，不愿意再进行下一步，例如，他们遇到判断正弦函数的奇偶性的时候，从定义 出发， sin − x不能很快的用诱导公式得出sinx .在一个难点卡住了，后面的步骤也进行不了 了。由于新课知识的讲授很快， 加上内容多， 公式多， 学生回家没有复习的习惯， 造成的影 响有很多。学完诱导公式之后就是正弦函数的图像和性质，本来可以让学生利用已经学习的 知识来推导这些性质，实际的上课情况是变成老师为主导，向学生解释这些知识。这种情况 造成不良后果有：有的学生依赖老师，不主动思考；有的学生认为知识过于复杂且多， 不愿 意主动学习。我们经常说，让数学简单化，简单化的基础就是理解，也就是学会推导。但实 际情况，中职学生由于数学要求太低，往往以背诵为主， 这样学习数学就太难了， 也失去了 乐趣。

参考文献:

[1] Bell, F. L.,1978, Teaching and Learning Mathematics in Secondary School, Wm C, Brown Company Publishers. [2] 赵思林,2006, 论数学证明的教育价值[J],中学数学杂志, 10:5-8.

[4] 詹欣豪, 何小亚,2014, 数学归纳法教学的困难-对策与价值[J], 中学数学杂志(高中版) ,4:6-9. [5] Piaget, J., 1979, 《结构主义》，商务印书馆.

[6] Piaget, J., 1979, 《儿童心理学》，商务印书馆.

[7] Clements, D. et al., 1992, Geometry and spatial reason, D. Grouws. (Ed.)

[8]  王申怀,2000, 数学证明的教育价值[J]．课程 ·教材 ·教法， 20(5):24-26.

[9] 熊惠民，虞莉娟,2007, 从数学证明的二重性看其教育价值[J], 数学教育学报,16(1):17-20. [10] 罗增儒,2001, 数学证明的作用[J], 中学数学教学参考,5:25-27.